分析哲学者は現象学を語れない

分析哲学と現象学と形式概念分析に関するブログ

半順序集合（poset）

定義（2項関係）: 集合 A 上の2項関係Rとは、Aの直積集合 $A^2 = A \times A$ の部分集合
$R \subseteq A\times A$
を言う。 $(x,y) \in R$ をxRyとも書く。

定義（半順序集合）: 集合P上の半順序関係（partial order relation）とは、P上の２項関係 $\sqsubseteq$ であって以下を満たすものを言う。

（反射律） $a \sqsubseteq a$
（反対称律） $a \sqsubseteq b$ かつ $b \sqsubseteq a$ ならば $a = b$
（推移律） $a \sqsubseteq b$ かつ $b \sqsubseteq c$ ならば $a \sqsubseteq c$

半順序関係を備えた集合Pを半順序集合（partially ordered set, poset, ポセット）という。半順序集合 P を半順序関係を明示する形でとも書くことがある。

（半順序集合に関する各種用語）

$x \sqsubseteq y$ かつ $x \neq y$ のとき、 $x \sqsubset y$
２つの元 $x,y \in P$ が比較可能であるとは、 $x \sqsubseteq y$ または $y \sqsubseteq x$ が成り立つことをいう。比較可能でないときは、比較不能という。
全順序集合（totally ordered set）とは、任意の２元が比較可能である半順序集合を言う。
半順序集合の最大元とは、任意の元 y に対して、 $y \sqsubseteq x$ となる元 x を言い、通常１で表す。
半順序集合の最小元とは、任意の元 y に対して、 $x \sqsubseteq y$ となる元 x を言い、通常０で表す。
半順序集合の極大元とは、 $x \sqsubseteq y$ となる y が存在しないような元 x を言う。
半順序集合の極小元とは、 $y \sqsubseteq x$ となる y が存在しないような元 x を言う。

最大/最小/極大/極小元は，一般に存在するとは限らない

定義（区間）: 半順序集合の任意の部分集合は同じ半順序関係によってまた1つの半順序集合と考えられる。半順序集合において、a ⊑ b であるとき、部分集合 { x ∈ P | a ⊑ x ⊑ b } は最大元 b と最小元 a をもつ半順序集合である。これを区間（interval）といい、[a,b]で表す。

定義（鎖）: 半順序集合の鎖（chain）とは、部分集合 C であって、その任意の２元が比較可能なものを言う。すなわち、鎖は全順序集合である。|C| - 1 を鎖の長さという。

定義（半順序集合のイデアル、フィルタ）: 半順序集合のイデアルとは、部分集合 I で x ⊑ y ∈ P ならば x ∈ P となるものを言う。ある元 x に対して y ⊑ x となる y 全体はイデアルとなるがこれを x の主イデアルという。半順序集合のフィルタとは、部分集合 F で x ∈ F で x ⊑ y ならば y ∈ P となるものを言う。ある元 x に対して x ⊑ y となる y 全体はフィルタとなるが、これを x の主フィルタという。

参考：数理情報学のための束論